算法学习专栏——Dijkstra（二）+bellman-ford

前言

我们现在介绍的所有这些算法都是前面的一些怪物想出来，所以你实在想不出来，也是非常正常的，每一个算法都可以写成一本大书，然后我们必须在短短的数天之内把它们完全搞懂，这就已经是一件非常具有挑战性的事情了，而我现在就是带领着大家做这么一件事情，按照我原本自己的学习周期，这些算法至少是花费了我将近5个月甚至更长的时间，但是现在我必须在2个月内将你们教会还需要熟练运用，这何尝不是一件难事，所以呢，如果你现在开始焦虑，请放下心来。痛苦的日子（我说的基础部分，高阶的另说）终将过去，开窍的日子指日可待！

一、Dijkstra求最短路 II（中等-）

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，所有边权均为非负值。

请你求出 1 号点到 n 号点的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，则输出 −1。

输入格式

第一行包含整数 n 和 m。

接下来 m 行每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式

输出一个整数，表示 1 号点到 n 号点的最短距离。

如果路径不存在，则输出 −1。

数据范围

1≤n,m≤1.5×10^5^
图中涉及边长均不小于 0，且不超过 10000。
数据保证：如果最短路存在，则最短路的长度不超过 10^9^。

输入样例：

输出样例：

代码

答案（请自己先思考一下再参考）

        
#include < iostream>
#include < queue>
#include < algorithm>
#include < cstring>
using namespace std;
const int N = 150000;
typedef pair PII;
int n, m;
int e[N], ne[N], h[N], w[N], idx;
int dist[N];
bool st[N];
void add(int x,int y,int z)
{
    e[idx] = y,ne[idx] = h[x],w[idx] = z,h[x] = idx++;
}
int dijkstra()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);    
    priority_queue< PII, vector< PII>, greater< PII>> q;    
    dist[1] = 0;    
    q.push({0, 1});   
    while (q.size())
    {
        auto t = q.top();       
        q.pop();       
        int distance = t.first, k = t.second;
        if (st[k]) continue;
        st[k] = true;      
        for (int i = h[k]; i != -1; i = ne[i])
        {
            int j = e[i];
            if (!st[j] && dist[j] > distance + w[i])
            {
                dist[j] = distance + w[i];
                q.push({dist[j], j});
            }
        }
    }    
    if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
    return dist[n];
} 
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> m;
    memset(h, -1, sizeof h);
    while (m--)
    {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >>z;
        add(x, y, z);
    }    
    int t = dijkstra();   
    cout << t;
    return 0;
}

二、有边数限制的最短路（中等-）

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 11 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式

第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

点的编号为 1∼n。

输出格式

输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤500
1≤m≤10000
1≤x,y≤n
任意边长的绝对值不超过 10000。

输入样例：

输出样例：

思路

代码

答案（请自己先思考一下再参考）

        
#include < iostream>
#include < cstring>
#include < algorithm>
using namespace std;
const int N = 510, M = 1e4 + 10;
int dist[N], backup[N];
int n, m, k;
struct Edge{
    int a, b, w;
}edges[M];
void bellman_ford()
{
    memset(dist, 0x3f, sizeof dist);    
    dist[1] = 0;    
    for (int i = 0; i < k; i++)
    {
        memcpy(backup, dist, sizeof dist);
        for (int j = 1; j <= m; j++)
        {
            int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
            dist[b] = min(dist[b], backup[a] + w);
        }
    }    
    if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) 
    {
        puts("impossible");
        return;
    }
    cout << dist[n];
    return;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0);
    cin >> n >> m >> k;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int a, b, w;
        cin >> a >> b >> w;
        edges[i] = {a, b, w};
    }    
    bellman_ford();
    return 0;
}

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